电影 / 图书 / 音乐
专注于"书影音"的垂直媒体

不知微积分,何以识世界——读《微积分的力量》有感

上九天揽月,下五洋捉鳖,曾经的神话和幻想,今天已成为现实。本期推出科幻科普系列(《三体》、《时间简史》和《微积分的力量》)读书心得,以飨读者。

《微积分的力量》

– “明师读书慧”读书心得 –

《微积分的力量》是一本写给每个人的微积分科普读物。作者史蒂夫·斯托加茨 ,美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。美国科普电台《科学星期五》的常驻嘉宾,代表作有:《X的奇幻之旅》、《微积分的力量》。

这本书最大特点是将深奥的微积分知识以一种新颖独特和接地气的方式来讲述,读起来不会那么晦涩难懂,就像“听故事”、“看展览”一样。作者在序言中说道,之所以写这本书就是为了让每个人能了解微积分最精彩的思想和故事。了解微积分为塑造我们今天这个世界做了哪些重要贡献。

一、微积分的基石——无穷原则

什么是微积分?微积分就是想让复杂的问题变得简单的方法。具体来讲,微积分可分为两个步骤:切分和重组。用数学术语来说,切分过程总是涉及无限精细的减法运算,用于量化各部分之间的差异,这个部分叫做微分学。重组过程则总是涉及无限的加法运算,将各个部分整合成原来的整体,这个部分叫做积分学。微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于,它把这种分而治之的策略发挥到了极致,也就是无穷的程度。

那么,无穷是什么?一个数字?一个地方还是一个概念?斯托加茨认为无穷是一件天赐之物。利用无穷解决复杂的几何问题一定是自古以来最棒的想法之一。代表作解决一个由来已久的谜题——圆的面积。

当我们只把圆分成4等份、8等份或16等份时,最好的情况不过是把它重新排布成一个有荷叶边的不完美形状。在经历了不太乐观的开端之后,我们切分的块数越多,得到的新形状就越接近于矩形。但只有在我们把圆切分成无穷多块的极限情况下,它才会变成一个真正的矩形。这就是微积分背后的伟大思想,在无穷远处,一切都变得更简单了。在微积分中,极限的不可到达性往往无关紧要。通过想象我们能到达极限。依靠想象获得巨大的成功。极限之所以重要,原因在于它们是整个微积分领域的基石。

二、微积分的勇士——阿基米德

这里我们就不得不提一个伟人——阿基米德,我们称他为驾驭无穷的勇士。他为积分学铺平了道路,这门学科的最深刻思想在他的著作中清晰可见。其中有两种策略在他的著作中反复出现。一种策略是他对无穷原则的狂热运用;另一种与众不同的策略是,把数学与物理学融为一体,把理想与现实合而为一。具体来说,他把几何学(研究形状)与力学(研究运动和力)结合在一起。有时他用几何学来阐释力学,有时则用力学理论来理解几何学。阿基米德正是通过娴熟地运用这两种策略,才解开了曲线之谜。最著名就是利用“夹逼法”证明π大于3+10/71而小于3+10/70。就这样,未知且永远不可知的π值被一个数值“虎钳”夹住了,挤在两个看起来几乎相同的数之间。不等式右边的3+10/70可以化简为22/7。它是今天所有学生仍在学习的那个著名的π的近似值。

圆周率是圆与直线之间的一扇门,是一个无限复杂的数,也是秩序与混沌之间的平衡。就其本身而言,微积分是用无穷来研究有穷,用无限来研究有限,用直线来研究曲线。无穷原则是解锁曲线之谜的钥匙,而求解圆周率π是积分学取得的第一次伟大胜利。

阿基米德在《抛物线求积法》再次借用无穷原则深入探索了曲线之谜。阿基米德采取了令人吃惊的策略,他把抛物线弓形重新想象成由无穷多个三角形碎片(像碎陶片一样)粘在一起形成的图形,最终求得面积是S=4/3

阿基米德最难等可贵的是他在自己的论著中做了鲜有天才会做的事情:邀请我们参与其中,向我们展示他是如何思考的。他冒着受到攻击的风险,分享了自己的直觉,还说他希望未来的数学家也能够用它去解决他不理解的问题。今天,这个秘诀被称为阿基米德方法。

阿基米德的遗产直到今天仍然熠熠生辉。《玩具总动员》中的角色之所以看起来栩栩如生,部分原因在于它们体现了阿基米德的一个洞见:任何平滑表面都可以令人信服地用三角形来逼近。我们使用的三角形越小和越多,逼近效果就越好。这一思路一直持续到制作《心灵奇旅》的年代。

三、微积分的进程——三件大事

微积分故事中的关键时刻出现在17世纪中叶。为什么17世纪会是人类的一个分界线?17世纪以前都是宗教,17世纪有了邮政系统,邮政系统使得像伽利略、开普勒和牛顿这些人可以互相写信来矫正自己的思想,所以才会有了同行的评议、有了共识,后来还诞生了英国皇家学会。至此,人类开始真正走入科学的发展。

运动之谜的奠基人伽利略认为宇宙是一部伟大的著作,而这部著作就是用数学语言写成的。,伽利略通过钟摆实验帮我们揭示了时间与运动之间的关系。(详情请看《机械宇宙》)另外一个研究运动的高手就是开普勒。他认为所有的行星都是在椭圆轨道上运动的,这就意味着它有变速运动,形状是变动的,速度也是变动的,而过去的数学工具却没有办法解决这个问题,这一切都在等到微积分的真正诞生。

时间来到了17世纪中叶,代数崛起,使得曲线之谜、运动之谜和变化之谜在二维网格——费马和笛卡儿的xy平面——上发生了碰撞。到了下一代,在费马、笛卡儿、伽利略和开普勒的研究成果的基础之上,英国的牛顿和德国的莱布尼茨彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起,创立了全新的数学方法——微积分。代数与几何的邂逅 让微积分蓬勃发展,迎来了微积分的黎明。这一路走来,我们花了近2000年,才找到了这种能接近上帝的语言。

微积分说到底就这三件事,就是知道切线,求方程;知道方程,求切线;知道方程,求面积。但实际上这个可以应用在医学、建筑、火箭发动机等各个方面。因为只要是变动的运算,都可以用方程和图形来表示,这就是微积分的力量所在,这三大核心问题推动物理、工程、金融、医学等等学科发展。

四、微积分的应用——无穷奥秘

尽管微分是思维的虚构产物,但它们就以非虚构的方式深刻地影响着我们的世界、社会和生活。如GPS定位,这个系统的几乎所有功能都取决于微积分。微积分预言了电磁波的存在,从而使无线通信成为可能。所以,没有微积分,就不会有无线通信和GPS。同样地,GPS卫星上的原子钟利用的是铯原子的量子力学振动,而微积分是量子力学方程及其求解方法的基础。所以,没有微积分,就不会有原子钟。

波音公司的数学家利用偏微分方程优化了波音787客机发动机内的燃烧过程,还利用微积分预测飞机在以600英里的时速,机翼会如何弯曲,以及利用气动弹性颤振的方程解决问题。微积分和计算机为波音公司节省了大量时间和金钱。

微积分与量子力学共同预测出医学成像的显著效果,为MRI(磁共振成像)、CT(计算机断层成像)扫描和更加神奇的PET(正电子发射断层成像)奠定了基础。利用微积分为HIV免疫系统的战斗过程建模。 数学家利用微积分和导数明确了针对DNA中针对螺旋和缠绕的守恒定律,阐明了某些酶的作用机制,这些酶可以扭曲和切割DNA,经证实,它们是癌症化学药物的有效靶点。微积分在计算机、人工智能上更是不可或缺。

通过正确地运用无穷,微积分可以解开宇宙的奥秘。微积分的可靠性不仅体现在它诞生的尺度上,还体现在最微小的原子尺度和最宏大的宇宙尺度上。所以,它不只是一种循环推理的把戏。微积分告诉我们的事情是我们过去没见过,现在见不到,将来也无法看见的东西。为什么宇宙是可以理解的?为什么微积分会与其步调是一致的?我不知道答案,希望你也一起思考这一个问题。

作者简介:周娟,女,东莞市长安镇中心小学数学老师。

赞(0) 打赏
转载请以链接形式标明本文地址:梦千寻 » 不知微积分,何以识世界——读《微积分的力量》有感
分享到: 更多 (0)

(书影音学外语)

(中日韩女明星写真集)

梦千寻 - 梦里寻它千百度

电影台词名人名言

关注或打赏

支付宝扫一扫打赏

微信扫一扫打赏