梦千寻《什么是数学》既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。它是一本世界著名的数学科普读物。书中搜集了许多经典的数学珍品，给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。I·斯图尔特增写了新的一章，以新的观点阐述了数学的最新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。
1、在十进位系统中，数十，是单独选出作为基底的。一般人可能没认识到，并不一定非得选取十不可，任何一个大于一的正整数都可用来作基底。
2、虽然希腊人曾经把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但是，所有的数学命题最终应归结为关于自然数1，2，3，…的命题，这一点已变成了现代的指导原则。“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”在这句话中，克隆尼克指出了建立数学结构稳固基础的条件。
3、数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。
4、数学教学有时竟变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。
5、至于点、线、数，“实际上”是什么，这不可能也不需要再数学科学中加以讨论，“可验证”的事实只是结构和关系：两点决定一直线，一些数按照某些规则组成其他一些数，等等。基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要的和最丰富的成果之一。
6、作为一个练习，读者可以证明：从以十为基底变成任何其它基底B的一般规则是，用B连续除以十为基底的整数z，所得的余数将是在以B为基底的系统中数码。
7、以十为基底的用法要回溯到世界文明的初期，而且毋庸置疑这是由于人们用十个手指进行计算的缘故。但是在许多语言中，从数目字上来看，显示出曾经用过其他基底的遗迹，特别是十二和二十。在英文和德文中，11和12就不是按照十进位原则把数码和“十”（teens）组合在一起的，在语言上他们与十完全无关。在法文中20和80的写法是“廿”（vingt）和“四-廿”（quarte-vignt，四个二十），这可能由于某种目的曾经用过一个以20为基底的系统。
8、莱布尼茨（W.Leibniz）(1646-1716)是他那个时代最伟大的思想家之一，他十分欣赏二进制位。用拉普拉斯（Laplace）的话来说：“莱布尼茨在他的二进制位算术中看到了宇宙创始的原象。他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。”
9、在自然科学中，“经验归纳法”是从对某个现象的一系列特殊的观测出发，知道表达成这现象每次发生时都服从的一般规律。这个规律的可信程度要依赖于观测的次数和证实的次数。这种归纳推理通常是完全令人信服的：预言太阳将从东方升起，这是完全肯定的事情。但这种命题的特点和用严格逻辑或数学推理来证明定理是不一样的。数学归纳法是以一种很不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的（第一个、第二个、第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
10、为了证明这样一个队每一个自然数n都成立的定理，只对n的前10个、前100个甚至前1000个值来证明是不够的。这种做法相当于经验归纳法。与此相反，我们必须用一个严格的数学的、非经验的推理方法。
11、就像接受简单的普通逻辑规则那样，我们将毫不犹豫地接受它，并把这作为数学推理的一个基本原则。因为这是我们能够证明任意命题An是正确的。这从给定论断b）A1是真开始，然后重复运用论断a）依次证明A2,A3，A4等等为真，一直到我们得到命题An为止。
12、其中有一个是有名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫（Goldbach，1690~1764）（除了1742年他在一封给欧拉的信中提出这个问题外，他在数学史上没什么地位）。
13、数学归纳法依赖于这样一个事实：任意一个自然数r都有一个后继的自然数r+1，而且我们所求的自然数n可以从1开始经过这样的有限步骤而达到。
14、“符号规则”以及负数、分数所服从的其它定义是不能加以“证明”的，它们是我们创造出来的，为的是在保持算数基本规律的条件下使运算能够自如。
15、无穷只意味着无穷尽的过程，而不是一个实际的量。
16、任何有理数的十进位小数表示式都是循环的。
17、最小自然数原理是指在一个非空正整数集合Ｃ里有一个最小自然数。
18、学归纳法可以定义为：如果给定一系列命题A(s),A(s+1),A(s+2)…这里s是某个正整数，且如果满足一面两个条件: a)对每个r>s的值，A(r)为真时，A(r+1)也为真。b)A(1)为真。则A(s),A(s+1),A(s+2)…是真的。即对所有的n>=s, A(n)成立。可用最小自然数原理及反证法来证明数学归纳法。证明过程如下：（反证法） 我们将表明：“这些A中将有一个不为真。“这一假设是不成立的。因为这些A中有一个不为真，则使得A(n)不为真的全体正整数集合C不为空。根据最小自然数原理，则存在一个最小自然数p，由b)知p必然大于1。因此A(p)不为真，但A(p-1)为真，这与a)矛盾。
19、对于科学方法来说，重要的是应放弃形而上学性质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源，放弃对“自在之物”的领悟，对“终极真理”的认识以及关于世界的最终本质的阐明，这对于质朴的热诚者来说，可能会带来一种心理上的痛苦，但事实上它却是近代思想上最有成效的一种转变。
20、莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象，他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。
21、一个定理的证明在于应用某些简单逻辑规则，但这样一个事实并没有揭示数学中的 创造性 的成分，而创造性在于对被考察的各种可能性作一选择。（一个）假设的来源问题，属于一个没有一般规律可循的领域。其中起作用的是 经验、类比和直观 。但是一旦叙述出正确的假设，用数学归纳法就常可提供证明。由于这样一种证明方法并没有给出发现过程的线索，把它称为 验证 似乎更为合适。
22、数学教学有时竟演变成空洞的解题训练．这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。
23、数学教学有时竟演变成空洞的解题训练．这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。
